ある交代級数の順序変更による和の変化

　交代級数の値
　　　 $S=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}+\cdots=\text{log}\,2$
は周知。

　交代級数の和は級数の順序を変えると和が変化する。例えば、この級数の正
の項をp個並べ、次に負の項をq個並べるという風に繰り返された級数の和は
　　　 $S_{pq}=\text{log}\, 2+\dfrac{1}{2}\text{log}\,\dfrac{p}{q}$
となる。

　この問題は解析入門Ⅰ（杉浦）に載っているが、解答例は　p=2, q=1の場合で、log 2 しか登場せず、一般証明に使えそうにない。あるサイトに証明が載っていたので紹介する。

　まず、
　　　 $R_k=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{k}$
とおく。Sの級数の正の部分は
　　　 $1+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{2p-1}$ 　→　1番目
　　　 $\dfrac{1}{2p+1}+\cdots+\dfrac{1}{4p-1}$ 　→　2番目
　　　　　・・・・
　　　 $\dfrac{1}{2(n-1)p+1}+\cdots+\dfrac{1}{2np-1}$ → n番目
であり、n番目までの和は
　　　 $1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\cdots+\dfrac{1}{2np-1}=R_{2np}-(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{2np})$
　　　　　　　　 $=R_{2np}-\dfrac{R_{np}}{2}$
である。

　Sの級数の負の部分は
　　　 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{2q}$ 　→　1番目
　　　 $\dfrac{1}{2q+2}+\cdots+\dfrac{1}{4q}$ 　→　2番目
　　　　　・・・・
　　　 $\dfrac{1}{2(n-1)q+2}+\cdots+\dfrac{1}{2nq}$ 　 → n番目

　すると、n番目までの和は
　　　 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{2nq}=\dfrac{R_{nq}}{2}$
となる。

　したがって求める級数のn番目までの和を $A_n$ とおくと
　　　 $A_n=R_{2np}-\dfrac{R_{np}}{2}-\dfrac{R_{nq}}{2} = (R_{2np}-R_{np})+\dfrac{R_{np}-R_{nq}}{2}$ 　・・・・①
となる。

　次に、p>q として
　　　 $R_{np}-R_{nq}=\dfrac{1}{nq+1}+\dfrac{1}{nq+2}+\cdots+\dfrac{1}{np} = \displaystyle\sum_{k=1}^{p-q} \dfrac{1}{(q+\dfrac{k}{n})}\dfrac{1}{n}$
　　　　　→ $\int_0^{p-q} \dfrac{dx}{q+x} = \text{log}\,\dfrac{p}{q}　(n\ →\ ∞)$
　p=qの時は、明らかに上式をみたす。p＜q の場合は、p, qを入替えれば、結果は同じになる。

　したがって、①で　n → ∞とすると、
　　　 $A_n\ →\ \text{log}\,\dfrac{2p}{p}+\dfrac{1}{2}\text{log}\dfrac{p}{q} = \text{log}\, 2+\dfrac{1}{2}\text{log}\,\dfrac{p}{q}$
となって、結論を得る。

[別解]
　オイラーの定数γを使い $γ_n=R_n-\text{log}\, n$ と置くと、 $γ_n\ →\ γ$ となることがわかっている。

これを①に入れると
　　　 $A_n=\text{log}(2np)+γ_{2np}-\dfrac{1}{2}(\text{log}(np)+\text{log}(nq)+γ_{np}+γ_{nq})$
　　　　　 $=\text{log}\, 2+\dfrac{1}{2}\text{log}\dfrac{p}{q}+γ_{2np}-\dfrac{γ_{np}+γ_{nq}}{2}$
となる。

ここで、n→∞ とすると
　　　 $A_n\ →\ \text{log}\, 2+\dfrac{1}{2}\text{log}\dfrac{p}{q}$
となる。

以上

2019/3/9 gooより移動