微分可能関数 f(x) が x=0で、狭義の極小値を取るなら、その近傍で f '(x)<0 (x<0), f '(x)>0(x>0)が成り立つか? 解析(極値)

微分可能関数 f(x) が x=0で、狭義の極小値を取るなら f'(x)<0 (x<0), f'(x)>0(x>0)が成り立つように見えるが、否であることが示されていた。

反例
　 $f(x)=x^2\sin^2(1/x)+x^2 (x≠0)$
　 $f(0)=0$
と定義する。

すると
　 $f(x) \gt f(0)=0 (x≠0)$
だから、x=0 で狭義の極小であり
　 $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=x\sin^2(1/x)+x → 0 (x → 0)$
だから、x=0 で微分可能である。

　 $f'(x)=2x\sin^2\left(\dfrac{1}{x}\right)-\sin\left(\dfrac{2}{x}\right)+2x$
となり、x → 0 のとき、第1、3項は0になり、第２項だけが残る。このとき、|x|がどんなに小さくても、±1 となる値がある。つまり、命題は成り立たない。

以上